MATEMATICA

domingo, 13 de septiembre de 2015

FUNCION LINEAL

Función lineal.

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una funcióncuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

f (x) = mx + b

donde

m

b

son constantes reales y

x

es una variable real. La constante

m

es la pendiente de la recta, y

b

es el punto de corte de la recta con el eje

y

. Si se modifica

m

entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica

b

, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con

b = 0

de la forma:

f (x) = mx

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

f (x) = mx + b

cuando

b

es distinto de cero, dado que la primera (

b = 0

) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto deálgebra lineal.

Ejemplo

Dos rectas y sus ecuaciones en coordenadas cartesianas.

Una función lineal de una única variable dependiente

x

es de la forma:

y = mx + b

que se conoce como ecuación de la recta en el plano

x, y

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

y = 0,5 x + 2

en esta recta el parámetro

m

es igual a

1 / 2

(correspondiente al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos

x

en una unidad entonces

y

aumenta en

1 / 2

unidad, el valor de

b

2

, luego la recta corta el eje

y

en el punto

y = 2

En la ecuación:

y = - x + 5

la pendiente de la recta es el parámetro

m = -1

, es decir, cuando el valor de

x

aumenta en una unidad, el valor de

y

disminuye en una unidad; el corte con el eje

y

es en

y = 5

, dado que el valor de

b = 5

En una recta el valor de

m

se corresponde al ángulo

θ

de inclinación de la recta con el eje de las

x

a través de la expresión:

m = tanθ

Funciones lineales de varias variables

Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

f (x, y) = a 1 x + a 2 y

representa un plano y una función

f (x 1, x 2, ..., x n) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n

representa una hipersuperficie plana de dimensión

n

y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (

n + 1

)-dimensional.

POLINOMIO

POLINOMIOS

Las expresiones algebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más variables y constantes, vinculadas a través de operaciones de multiplicación, resta o suma, reciben el nombre de polinomios. El adjetivo polinómico, por su parte, se aplica a la cantidad o las operaciones que se pueden expresar como polinomios.

Gracias a los polinomios, es posible desarrollar diferentes cálculos y acercarse a una función derivable. Numerosas ciencias utilizan los polinomios en sus estudios e investigaciones, desde la química y la física hasta la economía.

Para realizar la suma o la resta de polinomios, es necesario agrupar los diferentes monomios y simplificar los que resulten semejantes. La multiplicación, por su parte, se desarrolla multiplicando los términos de un polinomio por los términos del otro, simplificando finalmente los monomios que sean semejantes.

Es importante resaltar que los polinomios no son infinitos, es decir, no pueden estar formados por una cantidad infinita de términos. Por otra parte, la división es una operación que nunca forma parte de los polinomios.

Una propiedad de los polinomios es que, al sumarlos, restarlos o multiplicarlos, el resultado siempre será otro polinomio. Cuando el polinomio cuenta con dos términos, se lo denomina binomio. Si tiene tres términos, por otra parte, recibe el nombre de trinomio.

Otro concepto relevante al trabajar con polinomios es la noción de grado. El grado del monomio es el exponente mayor de su variable: el grado del polinomio, por lo tanto, será el grado de su monomio que tenga el valor más alto.

Se conoce con el nombre de polinomio de Taylor a un teorema enunciado en la primera década del siglo XVIII por el matemático Brook Taylor, oriundo de Gran Bretaña, pero descubierto a finales del siglo anterior por un matemático y astrónomo de Escocia llamado James Gregory. Gracias a su utilización en el estudio de una función, es posible dar con aproximaciones polinómicas en un entorno en el cual ésta se pueda diferenciar, además de aprovechar esta estimación para la acotación de errores.

El tipo de entorno usado para la aplicación del polinomio de Taylor es reducido, lo cual significa que se tienen en cuenta una serie de puntos en torno a uno principal, de manera que se pueda contar con un cierto margen pero que éste no sea excesivo. Los coeficientes del polinomio son dependientes de las derivadas de la función (medición de la velocidad con la que un valor cambia cuando se modifica su variable dependiente) en dicho punto.

El método denominado interpolación polinómica, por su parte, sirve para aproximarse a los valores que toma una función determinada, de la cual simplemente conocemos su imagen en una cantidad finita de abscisa (coordenadas cartesianas). Por lo general, solamente se cuenta con los valores que toma para las abscisas (en otras palabras, se desconoce la expresión de la función).

A través de dicho método se pretende encontrar un polinomio que también nos aproxime a otros valores que no resultan conocidos con un nivel de precisión en particular, para lo cual existe la fórmula del error de interpolación, que sirve para realizar el ajuste de la precisión.

El término polinomio primitivo responde a dos conceptos: un polinomio de una estructura algebraica (denominada dominio de factorización única) en la cual todos sus elementos sólo pueden descomponerse como producto de elementos primos, de manera que sus coeficientes tengan 1 como su máximo común divisor; para una extensión de cuerpos, el polinomio mínimo de uno de sus elementos primitivos.

Esto nos lleva al concepto de polinomio mínimo que, en matemáticas, hace referencia al polinomio normalizado (cuyo coeficiente principal sea 1) de menor grado de manera que su resultado sea 0.

FRACCIONES

LAS FRACCIONES

En matemáticas, una fracción, número fraccionario, (del vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis, roto, o quebrado)¹ es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción común, fracción vulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales, denotado ℚ.

De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente cualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números).

Numerador y denominador[editar]

Las fracciones se componen de: numerador, denominador y línea divisora entre ambos (barra horizontal u oblicua). En una fracción común

a/b

el denominador "b" expresa la cantidad de partes iguales que representan la unidad, y el numerador "a" denota cuántas de ellas se toman.

Representación gráfica y analítica[editar]

\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1

Como se ha quitado 1/4 del pastel, todavía le quedan 3/4.

tres cuartos más un cuarto.

Suele utilizarse la figura geométrica (que representa la unidad) seccionada en una cantidad de partes iguales para mostrar el denominador, y se colorean (u omiten) las que se toman para distinguir la cantidad que indica el numerador.

Notación y convenciones:
- En una fracción común, el denominador se lee como número partitivo (ejemplos: 1/4 se lee «un cuarto», 3/5 se lee «tres quintos»);
- Una fracción negativa se escribe con el signo menos delante de la fracción (ejemplos: -1/4 o $-\dfrac{3}{4}$ , pero no 3/-4);
- Una fracción genérica a/b representa el producto de a por el recíproco (multiplicativo) de b, de tal modo que $a/b\ = a \cdot 1/b\$ ; si tanto a como b son números negativos $(-a/-b)$ , el producto es positivo, por lo que se escribe: a/b;
- Toda expresión matemática escrita en esta forma recibe el nombre de «fracción».

La expresión genérica

a/b

representa una división algebraica, por lo que el divisor debe ser distinto de cero (b

\neq 0

); el cociente de esta división admite un desarrollo decimal (un número decimal, en el sistema de numeración decimaltradicional) que puede ser finito o infinito periódico (ver Número periódico).

NOTACION CIENTIFICA

NOTACIO CIENTIFICA

La notación científica, y también denominada patrón o notación en forma exponencial, una forma es escribir los números que acomoda valores demasiado grandes (100000000000) o pequeños (0,00000000001)¹ para ser convenientemente escrito de manera convencional.² ³ El uso de esta notación se basa enpotencias de 10⁴ (los casos ejemplificados anteriormente en notación científica, quedarían 1 × 10¹¹ y 1 × 10⁻¹¹, respectivamente). Como ejemplo, en la Química, al referirse a la cantidad de entidades elementales (átomos, moléculas, iones, etc.), hay una cantidad llamada cantidad de materia (mol).⁵

Un número escrito en notación científica sigue el siguiente patrón:

m\ \times\ 10^{e}

El número m se denomina mantisa y e el orden de magnitud.⁶ La mantisa, en módulo, debe ser mayor que o igual a 1 y menor que 10, y la orden de magnitud, dada como exponente, es el número que más varía conforme al valor absoluto.⁷

Observar los ejemplos de números grandes y pequeños:

600 000
30 000 000
500 000 000 000 000
7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
0,0004
0,00000001
0,0000000000000006
0,0000000000000000000000000000000000000000000000008

La representación de estos números, tal como se presenta, tiene poco significado práctico. Incluso se podría pensar que estos valores son poco relevantes y de uso casi inexistente en la vida cotidiana. Sin embargo, en áreas como la Física y la Química, estos valores son comunes.⁵ Por ejemplo, la mayor distancia observable del universo mide cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 m,⁸ y la masa de un protón es de unos 0,00000000000000000000000000167 kg.⁹

Para valores como estos, la notación científica es más adecuada porque presenta la ventaja de ser capaz de representar correctamente el número de dígitos significativos.⁷ ¹⁰ Por ejemplo, la distancia observable del universo, de modo que está escrito, sugiere una precisión de 27 dígitos significativos. Pero esto no puede ser verdad (es poco probable 25 ceros seguidos en una medición).⁵

APRENDER A RESOLVER ECUACIONES

ECUACION

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.^{nota 1}Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos.^{nota 2} ^{[cita requerida]} Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

$\overbrace{3x-1}^{\text{primer miembro}}=\overbrace{9+x}^{\text{segundo miembro}}$

la variable

x

representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que sólo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

$x = 5$

Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Por lo general, losproblemas matemáticos pueden expresarse en forma de una o más ecuaciones;^{[cita requerida]} sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se dice que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la ecuación es en realidad una identidad.

para poder hacer una ecucion se deve aprender la regla de signos:

Resultado de imagen para las reglas de signos